什麼是撲克 Solver（解算器）？運作原理與該怎麼用
撲克 solver 是一種軟體，它會針對「一個明確定義的情境」計算出博弈論最優打法。你給它 range、牌面、籌碼深度，以及允許使用的下注尺寸，它就回傳長期下來沒有任何對手策略打得贏的行動頻率與期望值。這套數學並不是什麼商業機密：幾乎所有市售 solver 跑的都是反事實後悔最小化（CFR）的某個版本，由 Martin Zinkevich 等人發表於 2007 年 NIPS，當時就已經能處理約 10^12 個狀態的限注德州撲克抽象模型。八年後，它的改良版實質求解了單挑限注德州撲克，成果於 2015 年 1 月發表在《Science》。這份指南會說明 solver 實際上做什麼、怎麼運作、三種產品類型的差別，以及在你掏錢之前必須誠實面對的限制。
撲克 solver 到底是什麼
從本質上來說，撲克 solver 就是一台博弈論的計算機。你餵給它一個明確定義的撲克情境，它就會算出一套長期下來任何對手策略都打不贏的策略。這套策略叫做博弈論最優打法，通常簡稱 GTO。如果想打好理論基礎，這篇關於什麼是 GTO 撲克的入門文章用白話把理論講清楚了。
關鍵字是「明確定義」。solver 並不知道怎麼打撲克這件事的整體概念，它只會回答你問它的那個確切問題。換掉牌面、換掉籌碼深度，或是換掉誰在這手牌裡，你面對的就是一個全新的問題。
撲克 solver 如何運作
每一次求解都是從輸入開始，以輸出結束。中間夾的，就是那個負責幹活的演算法。
你要定義的輸入
在 solver 能夠執行之前，你得告訴它這個情境的各項參數：
- range： 每位玩家在這裡可能持有的全部手牌組合。一個按鈕位的開池，大致會包含所有起手牌中最強的一部分。
- 牌面： 已經發出的公共牌，例如一個 K、7、2 且帶有兩張同花的翻牌。
- 籌碼深度： 後面還有多少個大盲，這會徹底改變下注尺寸與激進程度。
- 下注樹： 合法行動的選單，包含每一步允許哪些下注尺寸（比方說底池的 33%、75% 與滿池）以及哪些加注。
下注樹的重要性，比初學者想像的還高。更多的尺寸選項會產生更豐富的策略，但求解會花更久，輸出結果也會更難讀懂。
找出答案的演算法
大多數 solver 使用一類叫做反事實後悔最小化（counterfactual regret minimization，簡稱 CFR）的演算法。它背後的直覺，比名字聽起來簡單得多。solver 會讓這個情境自己對自己打上數百萬次。每跑完一輪，它就衡量一次「後悔值」，也就是換一個行動原本能多賺多少，然後把策略往那些它後悔當初沒選的行動上靠攏。
把這個循環重複夠多次，策略就會停止變化。到了那個點，雙方都已經盡其所能，誰也沒辦法靠偏離來改善結果。那個平衡點就是納許均衡，也就是 solver 一直在追尋的 GTO 解。
實務上，solver 永遠無法完美抵達均衡。它會非常逼近，並用一個叫做可剝削度（exploitability）的數字回報自己有多接近。可剝削度極低的求解，就已經「收斂」到足以信任的程度了。
你要讀的輸出
當求解完成，你會得到每一個 range 裡每一手牌的策略。針對每個行動，solver 會顯示：
- 頻率： 一手牌應該以多高的比例採取每個行動。某手牌可能 70% 的時候下注、30% 的時候過牌，這種混合打法保護的是你整體的 range。
- 期望值（EV）： 每個行動以籌碼計算值多少，這樣你就能看出哪些選擇大致相當，哪些明顯是在賠錢。
這既是 solver 大放異彩的地方，也是讓人崩潰的地方。輸出非常精確，但它是一整面牆的百分比，而不是建議。
solver 的用途是什麼
這部分很多新手都搞錯，所以值得直接講白：撲克 solver 是研究工具，不是即時助手。
你沒辦法在牌桌上跑求解，它花的時間太長了，而且在任何正規牌局裡用軟體做即時決策都是作弊。真正的工作流程是離桌研究：你檢視那些讓你卡關的情境，找出均衡策略，再慢慢把這些模式內化，讓你的直覺變得更好。
把它想成西洋棋引擎。特級大師會在家裡用引擎分析好幾個小時，然後坐上棋桌靠記憶下棋。solver 負責建立理解，下棋的是你的大腦。
桌面版 solver、雲端版 solver 與訓練器
市場分成三大類，選得好不好，取決於你的目標與耐心。想看更完整的拆解，可以參考這篇最佳 GTO solver的比較。
| 類型 | 範例 | 優勢 | 取捨 |
|---|---|---|---|
| 桌面版 solver | PioSolver | 完全掌控，任何自訂情境 | 學習曲線陡，吃硬體 |
| 雲端版 solver | GTO Wizard | 預先求解好的情境，立即取用 | 低階方案的自訂彈性較少 |
| 訓練器 | DEEPFOLD | 把策略練到變成反射記憶 | 建立在既有求解上，不是原始分析 |
桌面版 solver
像 PioSolver 這類桌面工具，跑在你自己的電腦上。你定義每一項輸入，機器算出答案，簡單情境可能幾秒搞定，深籌碼、多尺寸的下注樹則可能要好幾分鐘。它們提供最高的彈性，認真的教練至今仍仰賴它們，但代價就是複雜度與運算時間。想看更近距離的比較，可以參考這篇 DEEPFOLD 與 PioSolver的對照。
雲端版 solver
像 GTO Wizard 這類雲端工具，會預先求解龐大的常見情境資料庫，並透過瀏覽器提供，所以你省去了等待與硬體需求，幾乎是瞬間就能瀏覽解答。取捨在於，完全自訂的情境可能受限，或是被鎖在更高階的方案裡，因為你是從一個預建資料庫取用，而不是從頭開始求解。
訓練器
訓練器走的是另一條路。它不是把解答攤給你研究，而是拿這套解答來考你。你會一手接一手面對牌局並選擇行動，訓練器再拿你的選擇對照 solver 認可的打法替你評分。它瞄準的是真正的瓶頸，也就是壓力下的提取記憶，而不是取得資料的管道。如果你正在權衡不同的研究方式，這篇 solver 與 GTO 訓練器的拆解很值得一讀。
到底什麼被「求解」了
這個詞常被隨口亂用，值得把研究實際做到與沒做到的事情釘清楚。
| 年份 | 程式 | 牌型 | 成果 |
|---|---|---|---|
| 2015 | Cepheus | 單挑限注德州撲克 | 實質求解（Science 347:145-149） |
| 2017 | DeepStack | 單挑無限注德州撲克 | 在 44,000 手中擊敗職業玩家（Science 356:508-513） |
| 2018 | Libratus | 單挑無限注德州撲克 | 在 120,000 手中擊敗 4 位頂尖職業玩家（Science 359:418-424） |
| 2019 | Pluribus | 六人無限注德州撲克 | 擊敗菁英職業玩家（Science 365:885-890） |
只有第一行才算「求解」。在亞伯達大學主導 Cepheus 研究的 Michael Bowling 刻意把門檻定得很窄：他在 2015 年 1 月成果發布時說：「我們把一個遊戲定義為實質已解，是指窮盡一生的對局也無法在 95% 信心水準下，在統計上把它和真正的解區分開來。」而且這還只適用於限注牌型，其規模遠小於你實際在打的無限注。
其餘三行是「贏」，不是「解」。打贏牌桌上最強的人類，門檻低於證明沒有任何策略能打贏你。這個區別會影響你怎麼解讀自己手上的 solver：它給你的是無限注德州撲克某個小切片上、對均衡相當不錯的近似值，而不是撲克這個問題的已解答案。
順帶一提這件事變得多便宜。根據卡內基美隆大學，Pluribus 用 12,400 核心小時、花 8 天訓練出藍圖策略，實戰時只跑在 28 個 CPU 核心上；而一年前的 Libratus 需要 1,500 萬核心小時。成本這樣崩跌，正是 solver 等級的策略能這麼快進入消費級軟體的原因。
真正的限制
solver 很強大，但它不是通往成績的捷徑。誠實的缺點如下：
- 設定的複雜度。 建立準確的 range 與下注樹，需要大多數初學者還沒具備的知識，而一個爛輸入會給你一個自信滿滿卻毫無用處的答案。
- 運算時間。 豐富、貼近實戰的情境，可能把你的機器綁住一大段時間，這會讓人不想做快速的研究。
- 輸出很難實際套用。 這才是大問題。知道某手牌在某張轉牌下注 64%、在另一張下注 41%，並不是人類能跨越上千個情境去背下來的東西。原始的 solver 輸出是參考資料，不是能直接拿來打的知識。
最後這一點，正是為什麼這麼多用功的玩家會卡關。他們把求解讀得滴水不漏，一個小時後卻還是把同一個情境打錯，因為他們從來沒把資料轉化成直覺。
從 solver 學習最聰明的方法
對大多數想進步的玩家來說，最有效率的路徑，不是盯著頻率表格看好幾個小時，而是把策略萃取出來，然後反覆操練到變成自動反應。用 solver 去理解一條線為什麼正確，再用訓練器去練習它，直到正確的行動感覺起來理所當然。這正是 DEEPFOLD 瞄準的缺口：DEEPFOLD 把密密麻麻的 solver 輸出，轉化成經過訓練、能直接上桌的直覺。這篇關於如何用 solver 研究撲克的指南，把這套工作流程系統化地攤開來說明。
一個簡短的例子
假設你在用大盲防守按鈕位加注時一直在虧籌碼。一套真正能帶來改變的工作流程，看起來會像這樣：
- 求解或查出大盲防守這個情境，看看哪些手牌要跟注、加注或棄牌，以及各以多高的頻率。
- 找出其中的模式，例如哪些同花手牌是有利可圖的跟注，以及棄牌的門檻落在哪裡。
- 在訓練器裡把這個確切情境操練幾十次，直到你能不假思索地做出正確反應。
第三步才是進步真正發生的地方。solver 給了你答案卷，但唯有反覆練習，才能把它寫進記憶裡。
結論
撲克 solver 是現有最精準的老師，能為你定義的任何情境算出無法被擊敗的 GTO 策略。桌面工具給你掌控，雲端工具給你速度，兩者產出的結果都很精彩，卻難以吸收。對大多數玩家來說，通往更好成績最快的路，就是用 solver 學會策略，再用訓練器把它操練到變成第二天性。solver 告訴你正確答案，而練習，才是讓這個答案真正屬於你的東西。
參考來源
本文引用的數據與說法皆來自以下公開來源，可自行查證。
- Regret Minimization in Games with Incomplete Information（CFR 原始論文）
- Heads-up limit hold'em poker is solved
- Poker-playing program knows when to fold 'em（亞伯達大學 Cepheus 成果發布）
- DeepStack: Expert-level artificial intelligence in heads-up no-limit poker
- Superhuman AI for heads-up no-limit poker: Libratus beats top professionals
- Superhuman AI for multiplayer poker（Pluribus）
- Carnegie Mellon and Facebook AI Beats Professionals in Six-Player Poker
常見問題
什麼是撲克 solver（解算器）？
撲克 solver 是一種軟體，它會針對一個明確定義的特定情境，計算出數學上無法被剝削的博弈論最優（GTO）打法。它只會回答你定義的那個確切情境，所以換掉牌面、籌碼深度或玩家，就會變成一個全新的問題。
撲克 solver 是如何運作的？
你提供 range、牌面、籌碼深度與下注樹等輸入，它就會執行一套演算法，通常是反事實後悔最小化（CFR），讓情境自己對自己打上數百萬次。它會往後悔值較低的行動靠攏，直到策略停止變化、抵達納許均衡，然後回報頻率與期望值等輸出。
我可以在牌桌上打牌時使用撲克 solver 嗎？
不行。solver 是離桌研究工具，不是即時助手：求解花的時間太長，無法即時執行，而且在任何正規牌局裡用軟體做決策都算作弊。正確的工作流程是事後檢視讓你卡關的情境，再把這些模式內化。
桌面版 solver、雲端版 solver 與訓練器有什麼差別？
像 PioSolver 這類桌面版 solver 對任何自訂情境提供完全掌控，但學習曲線陡且吃硬體。像 GTO Wizard 這類雲端版 solver 幾乎能瞬間提供預先求解好的情境，但低階方案的自訂彈性較少；而像 DEEPFOLD 這類訓練器則是把 solver 認可的策略練到變成反射記憶，而不是產出原始分析。
